CAViaR - Conditional Autoregressive Value at Risk by Regression Quantiles

O modelo CAViaR - Conditional Autoregressive Value at Risk by Regression Quantiles é um modelo utilizado para se mensurar o Value at Risk para períodos diários e, assim, monitorar o risco de maneira autogregressiva.

Engle e Manganelli (2004) sugerem quatro possíveis funções para a estimação do CAViaR:

• Adaptive: $VaR_{t}=VaR_{t-1}+\beta_{1}\left\{\left[1+\exp\left(G\left[y_{t-1}-VaR_{t-1}\right]\right)^{-1}\right]-\tau\right\}$.
• Symmetric absolute value: $VaR_{t}=\beta_{1}+\beta_{2}VaR_{t-1}+\beta_{3}|y_{t-1}|$.
• Asymmetric slope: $VaR_{t}=\beta_{1}+\beta_{2}VaR_{t-1}+\beta_{3}(y_{t-1})^{+}+\beta_{4}(y_{t-1})^{-}$.
• Indirect GARCH(1, 1): $VaR_{t}=\left(\beta_{1}+\beta_{2}VaR_{t-1}^{2}+\beta_{3}y_{t-1}^{2}\right)^{1/2}$

onde $y_{t}$ é o retorno do ativo no tempo $t$ com $t=1,\dots, T$. $G$ é uma constante positiva (Engle e Manganelli (2004) sugerem $G=10$), $\tau$ é o nível do VaR desejado (usualmente $\tau=0.01$ ou $\tau=0.05$) e $(x)^{+}=\max(x,0)$ e $(x)^{-}=-\min(x,0)$

Como as funções são recursvivas é necessário uma primeira estimativa para o $VaR_{t=1}$. Considerando os mesmos dados de Engle e Manganelli (2004) os quais trabalharam com os retornos dos preços das açoes da GM, IBM e SP500 para Abril 7, 1986 até Abril 7, 1999, podemos obter a primeira estimativa de $VaR_{t=1}$ como:

#Limpa os workspace
rm(list=ls())
#Lê os dados
stocks<-read.table("dataCAViaR.txt")
colnames(stocks)<-c("GM","IBM","SP500")
#Nível do VaR desejado
tau<-0.05
#Divide a base em treinamento e validação
train<-stocks[1:2892,]
valid<-stocks[2893:3392,]
#Criar o vetor de VaR
VaR<-rep(NA,nrow(train))
#Primeira estimativa
VaR[1]<- -qnorm(tau)*sd(train$GM)

Em seguida, Engle e Manganelli (2004) sugerem estimar os parâmetros dos modelos por meio da estrutura de Regressão Quantílica: $\min_{\boldsymbol\beta}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\left[\tau-1\left(y_{t} \leq VaR_{t}\right)\right]\left[y_{t}-VaR_{t}\right]$ onde $1(\cdot)$ é uma função indicadora que assume valor igual a 1 quando seu argumento é verdadeiro $y_{t}\lt VaR_{t}$ e 0 caso contrário. Assim, a função objetivo para o modelo Adaptive é dada por:

#Sugestão Engle e Manganelli (2004)
G<-10
#Function
adpatative<-function(x){
  beta1<-x[1]
  for(i in 2:nrow(train)){
    VaR[i]<- VaR[i-1] + beta1*((1+(exp(G*(train[i-1,"GM"] - VaR[i-1]))^(-1)))-tau)
  }
  #Objective Function
  res<-sum((tau-(train$GM < VaR))*(train[,"GM"]-VaR))/nrow(train)
  return(res)
}

O próximo passo é otimizar essa função, isso pode ser feito utilizando-se a função optim:

#Realiza a otimização usando o métood de Brent
res<-optim(par=c(0), adpatative, method="Brent", lower=c(-10), upper=c(10))
#Resultado do parâmetro de interesse
beta<-res$par

A função optim tem como argumentos nesse exemplo: valor inicial para o(s) parâmetro(s) de interesse, função a ser minimizada, método utilizado e limites inferiores e superiores para o(s) parâmetro(s) de interesse. O último passo é a previsão do VaR:

VaR<-rep(NA,nrow(dados))
VaR[1]<- -qnorm(tau)*sd(dados[,"GM"])
#Previsão do CAViaR
adpatativeForecast<-function(x){
  beta1<-x[1]
  for(i in 2:nrow(dados)){
    VaR[i]<- VaR[i-1] + beta1*((1+(exp(G*(dados[i-1,"GM"]-VaR[i-1]))^(-1)))-tau)
  }
  #Objective Function
  return(VaR)
}

onde o objeto dados pode ser as bases de treinamento e validação:

#Base de treinamento
dados<-train
#Faz a previsão
VaR.train<-adpatativeForecast(beta)
#Medida de acuracia hits
mean(dados$GM< -VaR.train)-tau

O mesmo processo pode ser realizado para as demais funções.